\documentclass[a4paper, 12pt,TimesNewRoman]{article}
\usepackage[14pt]{extsizes}
\usepackage{cmap}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage[left=2cm,right=2cm,
top=2cm,bottom=2cm,bindingoffset=0cm]{geometry}
\usepackage{indentfirst}
\usepackage{graphicx}
\graphicspath{{./images/}}
\usepackage {subcaption}
\usepackage{parskip}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{float}
\usepackage[unicode, pdftex]{hyperref}
\author{Забродин Денис Александрович}
\title{\textbf{МатАнал}}

\begin{document}
	\maketitle
	\tableofcontents\newpage
	\section{Матрицы}
	\subsection{Основные понятия}
	\textbf{Определение:} Матрицы размера m*n называются совокупность элементов, записанных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов
	
	\begin{equation*}
		A = 
		\begin{pmatrix}
			a_{1} & \dots\\
			a_{2} & \dots\\
			a_{3} & \dots\\
		\end{pmatrix}
	\end{equation*}
	
	\centering или\
	\[A = (a_{ij})\]
	
	\raggedright $a_{ij}$ - элемент матрицы, находящийся на пересечении i-ой строки и j-го столбца.
	
	\textbf{Обозначение}: $\mathbb{R}^{m*n}$ - множество всех матриц размера m*n, элементы которых - действительные числа
	
	\textbf{Определение}: Если m = n, то А - квадратная матрица n-го порядка.
	
	\textbf{Определение}: Элементы $a_{ij}$, где i = j, называются \underline{диагональными}, а элементы $a_{ij}$, где i $\neq$ j - \underline{внедиагональными}.
	
	\textbf{Определение}: Матрица, все элементы которой равны 0, называются \underline{нулевой} и обозначаются символом O
	
	\textbf{Определение}: Квадратная матрица называется \underline{диагональной}, если все ее внедиагональные элементы равны нулю
	
	\textbf{Определение}: Диагональная матрица, все диагональные элементы которой единицы, называется единичной.
	\begin{equation*}
		E = 
		\begin{pmatrix}
			1 & 0 & 0\\
			0 & 1 & 0\\
			0 & 0 & 1\\
		\end{pmatrix}
	\end{equation*}
	
	\textbf{Определение}: Квадратная матрица $A = (a_{ij})$ называется треугольной, если $a_{ij} = 0$ при i < j (или i > j). \underline{Нижнетреугольная} и \underline{верхнетреугольная} соответственно.
	
	\textbf{Определение}: Матрица $A^{T} = (a^{T}_{ij}) \in \mathbb{R}^{n*m}$ называется \underline{транспонированной} для $A = (a_{ij}) \in \mathbb{R}^{m*n}$, если $a^{T}_{ij} = a_{ij}$, $\forall i = 1,2 \dots, m;~~ j = 1, 2, \dots, n$
	
	\textbf{Определение}: Квадратная матрица $A = (a_{ij})$ называется \underline{симметричной}, если $a_{ij} = a_{ji}$, $\forall i = 1, 2, \dots, n;~~ j = 1,2, \dots, n (те A = A^{T})$
	
	\subsection{Алгебра матриц}
	Пусть $A = (a_{ij})$ и $B = (b_{ij})$ - матрицы m*n\newline
	$i = 1,2 \dots, m;~~ j = 1, 2, \dots, n$
	
	\textbf{Замечание}: A = B $\Leftrightarrow$ $a_{ij} = b_{ij}$ $\forall i = 1,2 \dots, m; j = 1, 2, \dots, n$
	
	\begin{enumerate}
		\item \underline{Сложение}: A $\pm$ B = C = $(c_{ij})$, где $c_{ij} = a_{ij} \pm b_{ij}$
		\item \underline{Умножение}: $\lambda$ * A = C = $(c_{ij})$, где $c_{ij} = \lambda * a_{ij}$
	\end{enumerate}
	
	\textbf{Определение}: Матрица -A = $(-a_{ij}) \in \mathbb{R}^{m*n}$ называется \underline{противоположной} матрицей для A = $(a_{ij}) \in \mathbb{R}^{m*n}$
	
	\textbf{Определение}: Квадратная матрица $A = (a_{ij})$ называется \underline{кососимметричной}, если $A^{T} = -A$
	
	\textbf{Свойства матриц}:
	\begin{enumerate}
		\item A + B = B + A
		\item (A + B) + C = A + (B + C)
		\item A + O = O + A = A
		\item A + (-A) = -A + A = O
	\end{enumerate}
	
	\subsection{Умножение матриц}
	\textbf{Определение}: Произведением матрицы $A = (a_{ij}) \in \mathbb{R}^{m*n}$ на $B = (a_{ij}) \in \mathbb{R}^{n*k}$ называется матрица $B = (a_{ij}) \in \mathbb{R}^{m*k}$
	\[c_{ij} = \sum\limits_{s = 1}^{n}a_{is} * b_{sj}\]
	\textbf{Замечание}: Матрицу А можно умножить на B, если эти матрицы \underline{согласованы} (кол-во столбцов А = кол-ву строк B)
	
	\begin{equation*}
		A = 
		\begin{pmatrix}
			0 & -5\\
			-1 & 6\\
			3 & 2\\
		\end{pmatrix}
		B = 
		\begin{pmatrix}
			1 & 2\\
			3 & 4\\
		\end{pmatrix}
	\end{equation*}
	
	\begin{equation*}
		A * B = 
		\begin{pmatrix}
			0 & -5\\
			-1 & 6\\
			3 & 2\\
		\end{pmatrix}
		* 
		\begin{pmatrix}
			1 & 2\\
			3 & 4\\
		\end{pmatrix}
		=
		\begin{pmatrix}
			0*1 + (-5)*3 & 0*2 + (-5)*4\\
			(-1)*1 + 6*3 & (-1)*2 + 6*4\\
			3*1 + 2*3 & 3*2 + 2*4\\
		\end{pmatrix}
	\end{equation*}

	\subsection{Свойства умножения матриц}
		\begin{enumerate}
			\item (A * B) * C = A * (B * C)
			\item (A + B) * C = AC + BC; A * (B + C) = AB + AC
			\item $\lambda$ * (A * B) = ($\lambda$ * A) * B = A * ($\lambda$ * B)
			\item В общем случае A * B $\neq$ B * A
		\end{enumerate}
	
		\subsubsection{Док-во 1-го св-ва}
			Пусть $A \in \mathbb{R}^{m*n}, B \in \mathbb{R}^{n*p}, C \in \mathbb{R}^{p*r}$. Ясно, что тогда $A(BC) \in \mathbb{R}^{m*r}, (AB)C \in \mathbb{R}^{m*r}$. Вычислим сначала матицу A(BC). Имеем:\\
			$\{BC\}_{ik} = \sum\limits_{j=1}^p b_{ij}c_{jk},~~~ i = 1, \dots, n;~~ k = 1, \dots, r$\\
			$\{A(BC)\}_{lk} = \sum\limits_{i=1}^n a_{li}\{BC\}_{ik} = \sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{p}a_{li}b_{ij}c_{jk},~~~ l = 1, \dots, m;~~ k = 1, \dots, r$\\
			
			Теперь вычислим (AB)C:\\
			$\{AB\}_{lj} = \sum\limits_{i=1}^{n}a_{li}b_{ij},~~~ l = 1, \dots, m;~~ j = 1, \dots, p$\\
			$\{(AB)C\}_{lk} = \sum\limits_{j=1}^p \{AB\}_{lj}c_{jk} = \sum\limits_{j=1}^p \sum\limits_{i=1}^n a_{li}b_{ij}c_{jk},~~~ l = 1, \dots, m;~~ k = 1, \dots, r$
			
			Мы видим, что правые час ти отличаются лишь порядком суммирования. Однако, поскольку значки суммирования i, j меняются независимо друг от друга, порядок суммирования безразличен. Итак, матрицы A(BC) и (AB)C поэлементно совпадают.
		
		\subsubsection{Док-во 2-го св-ва}
			(A + B)C = AC + BC\newline
			Пусть A = $(a_{ij})$; B = $(b_{ij}$; C = $(c_{ij})$
			
			Обозначим A + B = D = $(d_{ij})$; $d_{ij}$ = $a_{ij} + b_{ij}$
			
			Пусть (A + B)C = F = $(f_{ij})$ = D*C
			
			$f_{ij} = \sum\limits_{s = 1}^{n}d_{ij} * c_{sj} = \sum\limits_{s = 1}^{n}(a_{is} + b_{is}) * c_{sj} = \sum\limits_{s = 1}^{n}a_{is} * c_{sj} + \sum\limits_{s = 1}^{n}b_{is} * c_{sj} = \{A*C\}_{ij} + \{B*C\}_{ij}$
		
		\textbf{Определение}: Матрицы A и B называются \underline{перестановочными}, если A*B = B*A
		
		\textbf{Определение}: Матрицы A и B называются \underline{антиперестановочными}, если A*B = -B*A
		
	\subsection{Свойства операции транспонирования}
		$\forall \lambda \in \mathbb{R}$
		\begin{enumerate}
			\item $(A \pm B)^{T} = A^{T} \pm B^{T}$
			\item $(\lambda A)^{T} = \lambda A^{T}$
			\item $(AB)^{T} = B^{T}A^{T}$
			\item $(A^{T})^{T} = A$
		\end{enumerate}
	
		\subsubsection{Док-во 3 св-ва}
			$(AB)^{T} = B^{T}A^{T}$ (равенство 1.1)
			
			Пусть A = ($a_{ij}$) - m*n; B = ($b_{ij}$) - n*k $\Rightarrow$ A*B - m*k; $(AB)^{T}$ - k*m\newline
			$B^{T} = (b_{ji})$ - k*n; $A^{T} = (a_{ji})$ - n*m;\newline
			$B^{T}*A^{T}$ - k*m, т.е в правой и левой частях равенства 1.1 стоят матрицы одинакового размера
			
			$\{(AB)^{T}\}_{ij} = \{AB\}_{ji} =$ $\sum\limits\limits_{s=1}^{n}a_{js}*b_{si} = \sum\limits_{s=1}^{n}b_{si}*a_{js} = \sum\limits_{s=1}^{n}b^{T}_{is}*a^{T}_{sj} = \{B^{T}A^{T}\}_{ij}$
			
			$\{B^{T}A^{T}\}_{ij}$ - элементы матрицы $(B^{T}A^{T})$
\end{document}  
